Archiv der Kategorie: Mathematik

Üben, nicht wiederholen

Torsten Larbig hat kürzlich das Buch „Das Neue und seine Feinde“ von Gunter Dueck gelesen. Ihm ist dabei ein sprachliches Detail aufgefallen: Herr Dueck spricht fast ausnahmslos von Üben, um Meisterschaft zu erlangen – nicht von Wiederholen.¹ Torsten hebt besonders diesen Satz hervor:

„Das eigentliche Problem wird allerdings nie angefasst: das Üben und die Resistenz dagegen.“²

Üben, üben, üben

Üben, üben, üben

Mit Blick auf das Lernen in der Schule bemerkt er dazu zweierlei, denn das Problem spaltet sich in zwei Teile. Der erste Aspekt betrifft die Wortwahl, die ich oben bereits hervorgehoben habe. Torsten führt an, in der Schule werde häufig von Wiederholen gesprochen („Und das wiederholt jetzt bitte noch einmal bis zur nächsten Stunde.“), aber gemeint sei damit tatsächlich Üben. Oft werde auch viel Material dafür zur Verfügung gestellt. Der zweite Aspekte des zuvor genannten Zitats sei allerdings derjenige, welcher eher vergessen wird – der innere Widerstand gegen das Üben. Es mache einfach nicht immer Spaß. Das ist vielleicht so ähnlich wie beim Karate, wo Techniken immer und immer wieder bewusst ausgeführt werden, damit sie letztlich in Fleisch und Blut übergehen können. Torsten stellt schließlich die Frage, was man tun könne, um gegen Übungsresistenz anzugehen. Continue reading

Ein kleines mathematisches Potpourri

Ich dachte mir, es wäre mal wieder ganz nett, mal über mein Mathematikstudium (Bachelor) an der FernUni Hagen zu berichten. Geht neben dem normalen Job etwas schleppend voran, aber ein paar Resultate habe ich vorzuweisen – vielleicht kann die ein Mathematiker abseits der Professorenschaft ja mal kommentieren? Bin ich da auf einem guten Weg?

Seminar: Computergrafik

In diesem Seminar wurden jeweils aktuelle, mathematische Forschungsartikel aus dem Bereich Computergrafik verteilt, in deren Thematik wir uns eigenständig einarbeiten mussten. Die Inhalte galt es dann, in angemessener Weise vorzustellen.

Ich erhielt den Text Cross Dissolve Without Cross Fade: Preserving Contrast, Color and Salience in Image Compositing, der sich damit beschäftigt, wie man beim Mischen von Bildern vermeiden kann, dass es zu Verlust von Farbintensität, Kontrast und Elementen mit hohem Informationsgehalt für Menschen kommt. Um das auszuprobieren, habe ich neben der Seminararbeit (Rohformat als TEX-Datei)die Algorithmen für Farbintensität und Kontrast auch in einem Programm umgesetzt. Beispiel gefällig?

Bewahrung der Farbintensität

Bewahrung der Farbintensität

Auf dem linken Bild sieht man zwei Einzelbilder, die einfach linear interpoliert übereinandergeblendet wurden, jeweils zu gleichen Anteilen. Das rechte Bild zeigt das Ergebnis, wenn man den intensitätswahrenden Algorithmus benutzt. Man sieht das sehr schön am Rot des Würfels.

Das Bild der Würfel stammt übrigens von Ed Sanders und ist verfügbar unter der Creative Commons-Lizenz Namensnennung-Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Unported.


Seminar: Mathematik und Politik

Angenommen, in einem Parlament wären 100 Sitze zu verteilen und sechs Parteien hätten bei der Wahl die folgenden Stimmanteile errungen: A (32,1%), B (28,9%), C (14,3%), D (12,2%), E (8,7%), F (3,8%). Es stellt sich nun die Frage, wie viele Sitze im Parlament jede Partei erhalten soll. Da sich Sitze nicht so einfach teilen lassen, wirft das Probleme auf, die ganz unterschiedlich angegangen werden können.

Meine Aufgabe war es, verschiedene Methoden zur Ermittlung der Sitzverteilung vorzustellen und ihre Eigenschaften zu untersuchen. Meine Seminararbeit dazu trägt den schlichten Titel: Sitzverteilungen (Rohformat als TEX-Datei)


Mathematisches Praktikum unter Benutzung mathematischer Softwarepakete

Weg eines Lichtstrahls auf einer Oberfläche

Weg eines Lichtstrahls auf einer Oberfläche

Man stelle sich vor, in einem karthesischen Koordinatensystem sei bei den Koordinaten (0, 0, 1) eine punktförmige Lichtquelle angebracht, die eine Oberfläche beleucht. Der Lichtstrahl drehe dabei im Neigungswinkel \theta = \frac{\pi}{4} zur „Horizontalen“ um die vertikale Achse, die durch (0, 0, 0) und (0, 0, 1) verläuft. Dabei lege er den Winkel \Phi zurück und beschreibe schließlich im \mathbb{R}^{3} eine geschlossene Kurve.

Sei nun die Oberfläche durch die Funktion z mit z(x,y) = \frac{-\cos{xy^3}}{\sqrt{3+\sin(x)cos(y)}} repräsentiert. Meine Aufgabe war es, die Kurve graphisch mittels Matlab darzustellen (habe alternativ das weitgehend kompatible Octave benutzt). Dabei musste ich einerseits die Koordinatenprojektionen der Kurve skizzieren, andererseits überprüfen, ob die Kurve tatsächlich auf der Oberfläche liegt – optisch in einer 3D-Darstellung oder numerisch. Außerdem sollte eine vorgegebene Funktion (bisect) verwendet und die Lösung auf maximal zwei Seiten beschrieben werden: Meine bescheidene Lösung – Liebe Kommilitonen, die ihr euch die Lösung hier abholt statt selbst zu denken (Suchbegriffe sprechen Bände): hinterlasst doch bitte wenigstens einen anonymen Danke-Kommentar.

Türchen auf, Köpfchen an!

Mathe-Kalender 2010

Mathe-Kalender 2010

Für Mathematikbegeisterten oder Knobelfreunde bietet die Deutsche Mathematiker Vereinigung zusammen mit dem DFG-Forschungszentrum MATHEON in diesem Jahr wieder eine tolle Aktion: den Mathekalender. Vom 01.12. bis 24.12. öffnet sich jeden Tag um 18:00 ein Türchen, hinter dem sich jeweils eine kniffelige Aufgabe versteckt, die es zu lösen gilt. Wer am Ende des Jahres zu denjenigen gehört, die dafür am wenigsten Zeit benötigt haben, gehört zu den Siegern. Zu gewinnen gibt es unter anderem Bücher, Gesellschaftsspiele, Zeitschriftenabonnements und auch – mein Favorit – LEGO-Baukästen. Für die Klassenstufen 4-6 und 7-9 gibt es ebenfalls je einen Kalender mit Aufgaben.

Eine schöne Beschäftigung für die dunklen Abende im Dezember, wie ich finde.

Was ist eigentlich Mathematik?

Wer mich kennt, der weiß, dass ich in meiner Freizeit Mathematik an der FernUni in Hagen studiere – und halten mich deshalb vielleicht für ein bisschen seltsam. Mathematik! Dieses Fach, das in der Schule niemand zu mögen scheint. Aber lernt man in der Schule überhaupt Mathematik? Michael Gieding schreibt dazu in einem Kommentar in Christan Spannagels Blog: „Mathematik, so scheint es mir, wird vor allem als ein Werkzeug angesehen. Dementsprechend unterrichten wir Mathematik vor allem in Form von Rezepten. Gib mir einen Algorithmus und ich werde ihn anwenden.“ Die meisten setzen daher wahrscheinlich Mathematik mit Rechnen gleich. Wenn das nicht ausreicht, was denn dann?

Eine Antwort von Günter Ziegler fand ich recht treffend: Ich kann Ihnen nicht definieren, was Mathematik ist, aber ich erkenne sie, wenn ich sie sehe (Zitat sinngemäß übernommen). OK, das stellt jetzt gar nicht zufrieden, oder? Wie komme ich nun bloß aus der Nummer wieder raus? Hmm, ich erzähle einfach mal, was mir bisher im Mathematikstudium so alles untergekommen ist!

  • Lesen: Lesen muss ich gerade als Fernstudent natürlich eine ganze Menge, allen voran die Kursunterlagen. Dazu kommen aber auch Bücher rund um Mathematik, darunter nicht nur Lehrbücher. Einige (wissenschaftliche) Artikel waren auch dabei als Grundlage für eigene Seminararbeiten.
  • Zuhören: Ist bei mir zwar ein Fernstudium, aber es gibt auch Präsenzveranstaltungen, bei denen Sachverhalte erklärt werden.
  • Schreiben: Die Seminararbeiten habe ich ja eben erwähnt – und wer in meine zwei bisherigen reinschaut (Sitzverteilungen und Cross Dissolve without Cross Fade), wird feststellen, dass ich da fast gar nicht gerechnet habe. Außerdem kann man sehen, dass Mathematik nicht bloß reine Theorie ist, sondern in der Praxis in ganz unterschiedlichen Bereichen benutzt wird.
  • Vortragen und Diskutieren: Bei den Seminarveranstaltungen haben wir unsere eigenen Arbeiten vorgestellt, im Anschluss diskutiert und uns ausgetauscht.
  • Zeichnen und Programmieren: Um Sachverhalte darzustellen, kann man sich mit Zeichnungen behelfen (gerade in der Geometrie) oder Programme schreiben – oder beides. Wenn man beispielsweise die Oberfläche eines Planeten als eine mathematische Funktion modelliert und sich überlegt, welche Stellen ein rotierender Laser als Lichtquelle bei einem bestimmten Winkel bestreicht, kann man das in Matlab programmieren und zeichnen (lassen):
Weg eines Lichtstrahls auf einer Oberfläche

Weg eines Lichtstrahls auf einer Oberfläche

  • Auswendig lernenDinge verinnerlichen: Es gibt auch in der Mathematik Dinge, die muss man einfach auswendig wissenverinnerlichen; spezielle Definitionen zum Beispiel, sonst kann man damit nicht arbeiten. Wenn man Mathematik nur anwenden möchte, genügt je nach Sichtweise auch das Auswendiglernen.
  • Klausuren schreiben: Da erübrigt sich ein Kommentar.

Na gut, ein bisschen habe ich geschummelt – das klingt ja alles nach einem ganz „normalen“ Fach. Stimmt! Kommen wir nun also zum eher Speziellen.

Die Mathematik, so denke ich, dreht sich zum Großteil um das Beweisen. Man stellt eine Hypothese auf (oder bekommt eine solche vorgesetzt) und beweist oder widerlegt sie dann eindeutig – oder findet heraus, dass das Problem vielleicht unentscheidbar ist, aber auch das eindeutig. Das kann wirklich schwierig sein! Es gibt verschiedene Beweisverfahren, die man ausprobieren kann. Es gibt verschiedene Wege, die man beschreiten kann. Und man rennt immer wieder in Sackgassen und läuft ein paar Schritte zurück. Manchmal kann man sich elegante Brücken bauen und so Zeit sparen. Manchmal bekommt man eine gute Idee, wenn man sich Dinge aufzeichnet. Manchmal kann man mit Software einige Dinge beschleunigen. Was am besten funktioniert, weiß man vorher aber nicht. Am Ende schließlich zu einem Ergebnis zu kommen, das mutet daher schon wie eine Kunst an, die erlernt und eingeübt werden muss. Einige Probleme sind scheinbar ganz einfach und haben sich dennoch jahrhundertelang einer Lösung entzogen, manche tun das heute noch.

Rechnen, ja, tatsächlich ist rechnen auch mitunter dabei – immer dann, wenn man tatsächlich die abstrakten Dinge einmal „konkret“ prüfen kann. Und dafür lässt sich dann durchaus auf fertigte Algorithmen zurückgreifen – die eigentliche Mathematik steckt aber darin, solche Rechenschemata oder Formeln überhaupt erst zu finden!

Das ist Mathematik für mich, so wie ich sie kennen und mögen gelernt habe – allerdings wirklich selten in der Schule. Was ist für euch Mathematik?

Frühjahrsputz – alles muss raus

Es ist 18:32 und astronomisch gesehen beginnt gerade der Frühling – endlich! Ich habe schon mal mit dem Frühjahrsputz begonnen und mein Bücherregal ein wenig ausgemistet – und ich dachte mir, ich verlose die aussortierten Werke einfach mal.

Frühlingsrätsel

Frühlingsrätsel

Wer im Kommentarbereich als erstes die vollständige Lösung des obigen Rätsels posted, erhält von mir über fünf siebeneinhalb Kilogramm Bücher – natürlich versandkostenfrei! Ja, tatsächlich, ist das nicht unglaublich? Und ist das alles? Nein! Da mir das Denken ja am Herzen liegt, kommt ein niegel-nagel-neues Exemplar von „Denken Sie selbst! – Sonst tun es andere für Sie“.

Vince Ebert: Denken Sie Selbst - sonst tun es andere für Sie

Denken Sie Selbst! - Sonst tun es andere für Sie

Also, jetzt mal den Denkapparat einschalten, sonst tut es ein anderer und schnappt dir die Bücher weg!